직교좌표와 구면좌표

천문학에서는 보통 천체의 위치를 나타낸 때 구면좌표를 씁니다. 적경과 적위, 황경과 황위 또는 방위각과 고도 등과 같이 기준이 되는 점에 대한 각도를 써서 천체의 위치를 나타냅니다. 그런데 천문 계산을 할 때에는 구면좌표 대신 직교좌표를 쓰는 것이 더 편리할 때가 있습니다. 행성이나 혜성의 위치 계산이나 한 번에 대량의 천체 자료를 처리해야 할 때에는 직교좌표를 쓰는 것이 더 빠르고 간편합니다. 예를 들어 수십만개에 이르는 별의 세차운동을 계산하거나 다른 좌표계로 좌표를 변환할 때에는 일일이 구면좌표로 계산하는 것 보다는 직교좌표로 바꾼 다음 행렬 연산을 이용하는 것이 훨씬 쉽고 빠릅니다.

(1) 구면좌표와 직교좌표

구면좌표는 어떤 점(천체)의 위치를 기준점에 대한 두 개의 각도 성분과 원점으로부터의 거리를 나타내는 하나의 크기 성분으로 표시합니다. 예를 들어 천랑성(시리우스)의 좌표는 2000.0년의 춘분점을 기준으로 적경 6시 45분 9초, 적위 -16도 42분 58초, 지구로부터의 거리는 8.6광년으로 나타냅니다. 여기에서 거리자료는 보통 생략하는데, 적도좌표로 천체의 위치를 나타낼 때에는 별이 천구에 자리잡고 있다고 가정하고 그 방향만을 나타내기 때문입니다.

직교좌표는 유클리드 공간에서 점(천체)의 위치를 나타내는 방법 가운데 하나로, 3차원 공간에서는 x, y, z라는 세 개의 성분으로 표시합니다. 각각의 기준축은 서로를 직각으로 가로지릅니다.

천문학에서는 구면좌표계를 주로 경도 성분과 위도 성분으로 나누어서 쓰며 x-y 평면에 기준면(예를 들어 적도면, 황도면, 은하면)을 대입하고 z 축을 천구의 남북극을 가로지르는 축으로 간주합니다.

경도 성분(예: 적경, 황경)은 x-y 평면에 있는 어떤 기준점(이 것이 x 축의 방향이 됩니다. 적도좌표와 황도좌표에서는 춘분점, 은하좌표에서는 은하의 중심입니다)으로부터 각도로 얼마나 떨어져 있는지를 나타내는 성분으로 반시계 방향으로 증가합니다(단, 방위각은 시계 방향으로 증가하는 것으로 정의되어 있으므로, 구면좌표에서 쓰는 방향과 반대 방향으로 증가합니다. 계산을 할 때 주의해야 합니다). 위도 성분(예: 적위, 고도)은 x-y 평편에서 z 축 방향으로 얼마나 떨어져 있는지는 나타내는 양으로, 부호는 북극쪽이 (+), 남극쪽이 (-)입니다.

직교좌표에서는 천체의 위치를 세 개의 성분으로 나누어 나타냅니다. x축, y축, z축으로 나누는데, z축은 앞서 이야기 했다시피 북극 방향을 가리키고 있습니다. x축은 x-y 평면에 있는 경도 성분의 기준점 방향으로 증가하고 적도좌표계와 황도좌표계에서는 보통 춘분점이 x축 위에 자리잡고 있습니다. y축은 x축과 직각을 이루고 있으며 90도 방향을 가리키고 있습니다.

(2) 구면좌표와 직교좌표 사이의 변환

구면좌표계와 직교좌표계로 나타낸 좌표를 서로 바꾸는 계산은 쉽게 할 수 있습니다. 구면좌표의 경도 성분을 a, 위도 성분을 b, 원점으로부터의 거리를 r로 두고, 직교좌표의 각 축의 성분을 각각 x, y, z로 표시하면 둘은 아래 식의 관계를 가집니다.

이 때 주의할 점이 있는데, 지평좌표계의 경우 방위각의 증가 방향이 일반적인 구면좌표계와 반대이기 때문에 방위각 성분에 -1을 곱해주어야 한다(부호를 바꾸어 주는 작업)는 것입니다. 이 과정이 빠지면 올바른 계산값을 얻을 수 없으므로 항상 신경을 써 주여야 합니다. 세차 운동의 계산이나 좌표의 변환처럼 거리가 변하지 않는 변환에는 r의 값을 1로 간주하면 됩니다.