지구 궤도의 근일점 이동

지구의 근일점이 이동하는 까닭은 다른 행성의 중력이 지구의 공전에 영향을 미치기 때문입니다.

목성과 같은 커다란 행성이 지구와 가까워지면 지구를 끌어당기면서 공전 속도를 느리게 하거나 빠르게 할 수 있는데, 지구가 받는 이러한 영향은 금성, 화성 등의 다른 행성에서도 마찬가지입니다.

지구의 근일점이 이동하는 속도와 태양을 한 바퀴 도는데 걸리는 시간은 아래와 같은 방법으로 알 수 있습니다.

행성의 궤도 요소를 결정하는 요소로는 여섯 가지가 있습니다.
이 가운데 근일점 경도라는 것이 있는데, 이는 근일점의 황경을 나타냅니다.
이 근일점 경도는 오랜 관측자료를 분석해(요즘은 컴퓨터를 이용한 동역학적 계산 자료를 더해서) 다항식으로 나타내는데,
이 다항식을 쓰면 시간에 따른 근일점 경도를 계산할 수 있습니다.

근일점 경도가 이동하는 속도는 이 식을 미분하면 구할 수 있습니다.

참고로 지구의 근일점 경도는 다음 식으로 구할 수 있습니다(이 식은 고전 이론을 따른 것으로 세차운동이 반영되어 있습니다).

근일점경도= 101도13분7.15초+6171.77초*T+1.823초*T2
T=(1900년 1월 1일 12시로보터 계산하려는 날까지의 일수)/36525 ->약 100년이라고 보시면 됩니다.
(출처: 기본 천문학(형설출판사) 부록 E (표 E.10))

이식을 미분하면(v라고 쓰겠습니다)
v=6171.77초+3.646초*T

그런데 세차운동으로 인한 영향을 제외해야하므로(이 식을 v'로 표현하겠습니다. 각도의 단위는 모두 초이므로 생략합니다),

v'=6171.77+3.646*T-(5025.64+0.0222*T)=1146.13*3.624*T
(*세차운동량=5025.64+0.0222*T)

즉 100년에 v' 정도 이동한다고 보면 됩니다.
이를 적분하면 1146.13*T+1.812*T^2가 됩니다.
이 양이 360도와 같아지는 시점을 찾으려면,

360*3600=1146.13*T+1.812*T^2

이 이차 방정식을 풀면 T는 약 587이 되고, T는 약 100년이므로,
결국 근일점이 360도 이동하는데 걸리는 시간은 약 58700년이 됩니다.

그런데, VSOP87이라는 새로운 이론에 따르면, 근일점의 이동 속도는 상당히 다릅니다.

이 이론에 따르면 위의 v'에 해당하는 식은 1161.24*T + 0.5323 * T^2로 바뀌며(T는 2000년 1월 1일 12시로부터의 일 수/36525) 이 값에 따라  새로 계산하면 근일점을 한 바퀴 도는데 걸리는 시간은 약 81300년으로 늘어나게 됩니다.

지난번에 어느 게시물의 답변에 지구의 근일점이 태양을 한바퀴 도는데 11만년이 걸린다고 적어 놓은 적이 있는데, 이는 위의 식에서 이차항을 빼고 대략 계산한 값입니다. 계산을 간단히 하기 위해 v'= 1161.24*T로 놓고 계산하면 근일점을 한 바퀴 도는데 걸리는 시간은 약 11만6000년이 됩니다. 사실 위의 식은 수 만년이 되는 기간에 적용하기에는 정밀도가 떨어지는 식입니다. 위의 식(VSOP87)의 유효 기간은 서기 2000년을 중심으로 전후 수천년 정도에 불과합니다. 따라서 위에서 계산한 약 81300년이라는 시간은 정확한 값이 아니라는 점에 주의해야합니다.

**첨언**
58700년과 81300년이라는 값은 둘 다 정확한 값이 아닙니다.
굳이 두 값의 정확도를 비교한다면, 고전이론(19세기 말에서 20세기 초반에 만들어진 이론, 뉴턴 역학만 반영)보다는 VSOP87의 값(여기에는 상대성 이론도 반영되어 있고 더 정밀한 관측 자료와 각종 최신 이론이 더해진 것이므로)이 더 정확할 것 같습니다(그러므로 58700년보다는 81300년이라는 값이 실제에 더 가까울 것 같다는 이야기).

그리고 아주 긴 기간동안의 변화를 이야기할 때에는 보통은 1차항만 고려하는 편입니다(2차항 이상은 1차항의 미세한 변화를 특정 기간 내에서 정밀하게 맞추어 주기 위한 보정항이므로). 1차항의 값은 대강 11초 정도이므로 근일점이 한바퀴 도는 데에는 11~12만년 정도가 걸리는 것이 됩니다.